Lösungen

Lösungen:

1. (a) 12121212 = 1101928 ^. 11 + 4
2. 1. Die Zahl sei a. Dann ist a = q ^. 5 + r mit r < 5. Nach Voraussetzung ist ${\frac{{r}}{{5}}}$ = ${\frac{{4}}{{10}}}$. Also ist r = 2.
   2. Es bleibt Rest 3.
   3. Es bleibt Rest 10.
   4. Wir dividieren durch die Zahl, runden, multiplizieren das Ergebnis mit der Zahl und ziehen von der Ursprünglichen Zahl ab.
3. (a) Es ist 1000 = 6 mod 7. Also ist Montag in 1000 Tagen. (b) Klar.
4. Es sei a die kleinste dieser Zahlen. a = q ^. n + r mit 0$\le$r < n. Ist r = 0, so teilt n schon a. Andernfalls ist r > 0, also n - r < n. Daher ist a + (n - r) = (q + 1)n unter den n aufeinanderfolgenden Zahlen. n kann unter den n aufeinaderfolgenden Zahlen nicht zwei verschiedenen teilen. Denn seien a < b zwei solche Zahlen. Dann ist etwa a = q ^. n und b = p ^. n mit q < p. Daher kann b nicht mehr unter den n aufeinanderfolgenden Zahlen sein.

5. 1. Ein Lisp Programm könnte so aussehen:

      (defun quot(a b)
          (let ((s 0) (q 0))
                 (while (< s a) 
                     (setq s (+ s b)   q (1+ q))
                 )
              (if (> s a) (- q 1)
               q)
       )
      )
      

   2. Unter den Zahlen {a - x ^. b| x $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$} gibt es eine kleinste natürliche Zahl etwa a - q ^. b. Dann ist r = a - q ^. b < b. Andernfalls wäre r' = r - b = a - (q + 1) ^. b < a - q ^. b. Also ist a = q ^. b + r mit r < b.

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6. -
7. Ist 100a + b durch 7 teilbar, so auch 400a + 4b = 399a + a + 4b. Da 399a sowieso durch 7 teilbar ist, ist es auch a + 4b.