Transversalen im Dreieck

Wie wir wissen schneiden sich die Mittelsenkrechten eines jeden Dreiecks im Umkreismittelpunkt. Genauso schneiden sich die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunk. Für die Höhen gilt ein ähnlicher Satz.

Satz 3.4.1   In jedem Dreick schneiden sich die Höhen in einem Punkt.

Beweis:Wir ziehen durch jeden Eckpunkt des Dreiecks $\triangle$ABC eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite. Es entsteht ein neues Dreieck $\triangle$A₁B₁C₁

Abbildung 3.10: Höhenschnittpunkt

Es ist $\overline{{B_{1}C}}$ = $\overline{{AB}}$, da ABCB₁ ein Parallelogramm ist. Genauso ist $\overline{{AB}}$ = $\overline{{CA_{1}}}$, da ABA₁C ein Parallelogramm ist. Also ist C der Mittelpunkt von [B₁A₁]. Genauso ist B der Mittelpunkt von [C₁A₁] und A der Mittelpunkt von [B₁C₁]. Die Mittelsenkrechten dieses neuen DReiecks $\triangle$A₁B₁C₁ schneiden sich in einem Punkt. Die Mittelsenkrechten sind die Höhen in dem ursprünglichen Dreieck $\triangle$ABC. Also schneiden sich die Höhen in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. $\Box$

Verbindet man etwa die Seitenmitten von [BC] und [AC], so stellt man fest, dass diese Gerade parallel zu AB ist.

Satz 3.4.2   Sei ein Dreieck ABC gegeben. Die Parallele durch die Seitenmitte E von [AC] zu der Seite AB geht durch die Seitenmitte von [BC]. Die Verbindungsstrecke der Schnittpunkte ist halbso lang wie [AB].

Beweis:

Abbildung 3.11: Mittelparallele

Zu zeigen ist: D ist die Seitenmitte von [BC]. Sei h die Parallele zu [CB] ducrh E. Dann gilt:

1. Das Dreieck AFE ist kongruent zu dem Dreieck EDC. Daher ist [EF] genauso lang wie [CD].
2. Das Viereck FBDE ist ein Parallelogramm. Also ist die Strecke [EF] genauso lang, wie die Strecke [DE].

Daher ist [CD] genauso lang wie [DB]. Das bedeutet: D ist Seitenmitte vonm [CD]. Genauso folgt, dass F Seitenmitte von [AB] ist. Und daher ist die Strecke [ED] 0.5 ^. c lang. $\Box$

Folgerung 3.4.3   Verbindet man die Seitennmitten zweier Seiten, so ist diese Gerade parallel zur dritten Dreiecksseite.

Überlege den Beweis dieses Satzes selbstständig.

Satz 3.4.4   Die Seitenhalbierenden eines jeden DReiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks. Ist S der Schwerpunkt des Dreiecks so gilt: Die Länge von [AS] = 2/3s_a, die Länge von BS = 2/3s_b und die Länge von [CS] = 2/3s_c.

Beweis:

Abbildung 3.12: Schwerpunkt

In der Figur ist P die Seitenmitte von [AS] und Q die Seitenmitte von [BS]. Entsprechend ist Mb die Seitenmitte von b und Ma die Seitenmitte von a. Also ist wegen der Folgerung 3.4.3 das Viereck PQMaMb ein Viereck mit zwei gleichlangen gegenüberliegenden Seiten. Daher ist es ein Parallelogramm und die Dieagonalen halbieren sich. Also ist [PS] genauso lang wie [SMa]. Da P weiterhin die Seitenmitte von [AS] ist. Also ist [AS] 2/3 ^. s_a lang. Ist S' der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden s_a und s_c, so folgt genauso, dass [AS'] 2/3 ^. s_a lang ist. Also ist S' = S. $\Box$

Aufgaben: Hinweis: Bei den folgenden Konstruktionsaufgaben ist es erlaubt 2/3 einer Strecke auszumessen.

1. Konstruiere ein Dreieck von dem gegeben sind:
   1. s_b = 6.6cm, s_c = 4.8cm udn a = 6.9cm.
   2. s_b = 6cm, s_c = 3.3cm und b = 5.8cm.
   3. h_c = 4.2cm s_c = 4.5cm und h_c = 4.2cm
   4. s_a = 6.6cm, s_b = 4.5cm und h_c = 4.2cm.
2. Konstruiere ein Dreieck aus:
   1. h_c = 4.2cm alpha=35⁰ und beta=35⁰
   2. Inkreisradius r = 1.6 cm alpha = 40⁰ und beta = 76⁰
   3. Umkreisradius r = 3.5cm h_c = 4.1cm und c = 6.4cm.
   4. b = 7.2cm s_b = 4.2cm und h_a = 6.4cm
   5. c = 6.2 cm, h_a = 3.6cm und h_b = 5.7cm.
3. Beweise, dass in jedem Dreieck gilt:
   1. Ist a = b, so ist s_a = s_b.
   2. Ist s_a = s_b so ist a = b.
4. Konstruiere ein gtelichschenkliges Dreieck aus der Seitenhalbierenden s_a und der Basis c.
5. Konstruiere ein Dreieck aus einer Seite (7cm), einer Höhe (4.5cm) und einer Seitenhalbierenden (5cm). Unterscheidung von 5 Fällen.
6. Gegeben sind drei sich schneidende Geraden und auf einer derselben ein Punkt A. Zeichne ein Dreieck, das A zur Ecke hat, bei dem B und C auf den beiden andern Geraden liegen und in dem P
   1. dder Höhenschnittpunkt
   2. Umkreismittelpunkt
   3. der Schwerpunkt ist.
7. Konstruiere ein Dreieck von dem gegeben sind:
   1. Die drei Seitenmitten
   2. Zwei Ecken A und B und der Höhenschnittpunkt H.
   3. Zwei Ecken A und B und der Schwerpunkt S.
   4. Zwei Ecken A und B und der Inkreismittepunkt M.
   5. Die Ecke A, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt U.
8. Im Dreieck ABC sei D die Seitenmitte von [BC]. Ziehe durch D die Parallele zu AC und AB. Welche der entsehenden Teildreiecke sind kongruent und warum.
9. 1. Zeige: Die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks bilden ein Parallelogramm.
   2. Gegeben sei ein Parallelogramm mit den Eckpunkten ABCD. Die Eckpunkte liegen auf den Seiten eines Vierecks RFGH und zwar derart, dass A Seitenmitte von [HF], B Seitenmitte von [EF] und C Seitenmitte von [FG] ist. Zeige D ist Seitenmitte von [GH].
   3. Ist ein Viereck eindeutig aus seinen Seitenmitten konstruierbar?
   4. Konstruiere ein Fünfeck aus seinen Seitenmitten.
   5. Zeige allgemein: Jedes Vieleck ungerader Eckenzahl ist aus seinen Seitenmitten konstruierbar.
10. Gegeben ist ein Dreieck ABC. Verlängert man die Seite b über A hinaus um b, so erhält man den Punkt A'. Verlängert man die Seite a über B hinaus um a, so erhält man B'. Zeige: A'B' ist parallel zu AB

11. Abbildung 3.13: Parallele

    
    In der Skizze ist [CA'] zweimal so lang wie [CA] und [CB'] zweimal so lang wie [CB]. Zeige A'B' ist parallel zu AB.

12. Im DReieck sei S der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. U der Umkreismittelpunkt und O liege auf US, so dass [OS] doppelt so lang wie [US] ist. Zeige: O liegt auf der Höhe auf die Seite [AB].

    Abbildung 3.14: Eeuler Gerade

    
    Beweise: Umkreismittelpunkt, der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und der Höhemschnittpunkt liegen auf einer Geraden. Dieser schöne Satz stammt von Leonard Euler georen am 15.04.1707 in Basel. Er starb am 18.9.1783 in Petersburg.
13. Konstruiere ein Dreieck von dem gegeben sind:
    1. a + b = 10.4cm, c = 8cm und alpha= 38⁰
    2. a + c = 13.2cm, b = 6cm und h_c = 2.7cm.
    3. a + b = 11cm, c = 7.2cm und gamma= 72⁰

14. Schlage um den Umkreismittelpunkt M eines gleichseitigen Dreiecks einen Kreis mit beliebigem Radius. Beweise, dass von den 6 Schnittpunkten des Kreises mit den Seiten je 3 ein gleichseitiges DReieck bilden.