Arbeitsblätter

Definition 8.1   Ein Fünfeck heißt regulär, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

1. 

   Berechne alle Winkel in der Zeichnung.

2. 

   Zeige: Das innere Fünfeck ist wieder regulär. (Tipp: Die ,,Zacken`` des Sterns sind kongruent)

3. 
   Ist a₀ die Diagonale im großen Fünfeck, a₁ die Seite im großen Fünfeck. Ist weiter a₂ die Diagonale und a₃ die Seite im kleinen Fünfeck so gilt:

   
   

   a₀ = a₁ + a₂

   a₁ = a₂ + a₃

   $$\vdots \vdots$$ = (20)

   
   Zeige aus der Rekursion: Seite und Diagonale des Fünfecks haben kein gemeinsames Maß.

4. Gegeben ist ein reguläres Fünfeck mit der Seitenlänge a₁ und der Diagonale a₀. Konstruiere ein Fünfeck mit der Diagonalen a₁. Welche Seitenlänge hat das neue Fünfeck (In Abhängigkeit von a₀ und a₁)? Setze diese Konstruktion noch zweimal fort.

   

5. Gegeben ist ein reguläres Fünfeck mit der Seitenlänge a₁ und der Diagonale a₀. Konstruiere ein Fünfeck mit der Seite a₀. Welche Diagonale hat das neue Fünfeck (In Abhängigkeit von a₀ und a₁)? Setze diese Konstruktion noch zweimal fort.
   

6. Zeige $${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$$ = $${\frac{{a_{1}}}{{a_{2}}}}$$... Tipp: Betrachte auf dem ersten Arbeitsblatt die ähnlichen Dreiecke $\triangle$ABC und $\triangle$AE'C'. Das heißt: E' ist ein besonderer Teilpunkt der Diagonale AC. Und zwar gilt:
   $${\frac{{\text{Gesamtstrecke}}}{{\text{gr\uml {o}\ss{}{}ere Teilstrecke}}}}$$ = $${\frac{{\text{gr\uml {o}\ss{}{}ere Teilstrecke}}}{{\text{kleinere Teilstrecke}}}}$$
   Euklid nannte das stetige Teilung. In der Renaisasance wurde es ,,divina Proportione`` genannt und schließlich im 19ten Jahrhundert:,,Goldener Schnitt``
7. Zeige

   $${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}} {\frac{{1}}{{\frac{a_{0}}{a_{1}}}}}$$ (21)

   
   
   Berechne aus dieser Gleichung $\Phi$ = ${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$ (quadratische Gleichung). Wie kann man $\Phi$ konstruieren mit Zirkel und Lineal.
8. Fibonacci startete anders aber berechnet nach der gleichen Regel
   

   a₀ : = 1

   a_-1 : = 1

   a_-2 : = 1 + 1 = 2

   a_-3 : = 2 + 1 = 3

   
   Berechne die folgende Tabelle weiter:

   Nummer	Fibonacci-Zahl	Quotient = ${\frac{{a_{-(n+1)}}}{{a_{-n}}}}$
   0	1
   -1	1	1
   -2	2	2
   -3	3	1.5
   -4
   -5
   -6
   -7
   -8
   -9
   -10

9. Berechne die gleiche Tabelle mit anderen Startwerten:

   Nummer	Fibonacci-Zahl	Quotient = ${\frac{{a_{-(n+1)}}}{{a_{-n}}}}$
   0	8
   -1	3
   -2
   -3
   -4
   -5
   -6
   -7
   -8
   -9
   -10

10. Zeige: Für beliebige Startwerte a,b konvergiert die Qoutientenfolge. (Mit den Schülern nicht gelöst))

Wir wenden auf ,,Worte`` , die nur aus den Buchstaben ,,h`` und ,,r`` bestehen folgende Ersetzungsregel an: Ersetze jedes ,,h`` durch ,,hr`` und jedes ,,r`` durch ,,rhr``..

Aus rh wird beispielsweise rhrhr. Jedes Wort kann als Gitterweg vom Nullpunkt zu einem Gitterpunkt gedeutet werden. Man deute folgendermaßen:

• ,,r`` gehe eine Einheit nach rechts.
• ,,h`` gehe eine Einheit nach oben.

, so dass z.B rhrhr ist ein Gitterweg nach (3| 2) ist.

Starten Sie mit dem Wort ,,h`` und wenden Sie die Ersetzungsregel viermal an. Es entstehen 4 Gitterwege nach den jeweiligen Endpunkten p<sub>1</sub>...p<sub>4</sub>. Welche Steigungen haben die Geraden durch den Nullpunkt und die Punkte p<sub>i</sub>? Äußern Sie eine Vermutung, welche Steigung die ,,Grenzgerade`` hat.