Differentationsregeln

Satz 3.2.1  

1. Seien f, g : A $\rightarrow$ B beide differenzierbar an der Stelle a $\in$ A. Dann ist f + g an der Stelle a differenzierbar an der Stelle a $\in$ A und es gilt (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a).
2. Ist c $\in$ $\mathbb {R}$ und f : A $\rightarrow$ B differenzierbar an der Stelle a, dann ist c ^. f an der Stelle a differenzierbar und es ist (c ^. f )'(a) = c ^. f'(a).

Beweis:Zu 1. Sei (a_n) eine Folge, deren Grenzwert a ist. Dann gilt:

$\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$${\frac{{(f+g)(a_n)-(f+g)(a)}}{{a_n-a}}}$ = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$${\frac{{f(a_n)-f(a)}}{{a_n-a}}}$ + $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$${\frac{{g(a_n)-g(a)}}{{a_n-a}}}$ = f'(a) + g'(a).

Zu 2. Dies ist noch einfacher.

$\Box$

Satz 3.2.2   Ist f an der Stelle a differenzierbar, so ist f dort stetig.

Beweis:Sei (a_n) eine Folge, die gegen a konvergiert. Dann existiert der Grenzwert der Folge (b_n) = $\left(\vphantom{\frac{f(a_n)-f(a)}{a_n-a}}\right.$${\frac{{f(a_n)-f(a)}}{{a_n-a}}}$$\left.\vphantom{\frac{f(a_n)-f(a)}{a_n-a}}\right)$. Wir erhalten f (a_n) - f (a) = (a_n - a) ^. b_n. Beide Faktoren der Folge sind konvergent. Der erste Faktor ist eine Nullfolge. Daher ist die f (a_n) - f (a) eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (a_n) = f (a) ist. Dies hinwiederum bedeutet, dass f stetig an der Stelle a ist. $\Box$

Satz 3.2.3 (Produktregel)   Seien f, g an der Stelle a diffeerenzierbare Funktionen. Dann ist f ^. g an der Stelle a differenzierbar und es gilt: (f ^. g)'(a) = f (a) ^. g'(a) + f'(a) ^. g(a).

Beweis:Wir betrachten zunächst wieder die zur Produktfunktion gehörende Sekantenfunktion.

sek(x, a) = ${\frac{{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(a)}}{{x-a}}}$ = ${\frac{{f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(a)+f(x)\cdot g(a)- f(a)\cdot g(a)}}{{x-a}}}$

Setzt man nun für x eine Folge ein, die gegen a strebt, so sieht man, dass der erste Summand gegen g'(a)f (a) konvergiert und der zweite gegen g(a)f'(a). $\Box$

Satz 3.2.4 (Quotientenregel)   Seien f, g : $\mathbb {D}$ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$ zwei an der Stelle a differenzierbare Funktionen und es gelte g(a) $\neq$ 0. Dann ist ${\frac{{f}}{{g}}}$ an der Stelle a differenzierbar und es gilt:

$${\frac{{f}}{{g}}}$$'(a) = $${\frac{{f(a)'\cdot g(a)-f(a)\cdot g'(a)}}{{g(a)^2}}}$$.

Beweise diese Aussage selbstständig.