Definition und Beispiele

Wir erklären den Begriff der Sekantensteigung an der Stelle a in Abhängigkeit von x:

Definition 3.1.1   Sind a und x aus dem Definitionsbereich der Funktion f, so heißt sek(x, a) = ${\frac{{f(x)-f(a)}}{{x-a}}}$ Sekantensteigung an der Stelle a. Dies ist eine Funktion von x!

Beispiel:

f (x) = x² sek(a, x) = ${\frac{{x^2-a^2}}{{x-a}}}$ = x + a. ,,Strebt`` nun x gegen a, so strebt sek(a,x) gegen 2a. Genauer: Ist (x_n) irgend eine Folge deren Grenzwert a ist, so ist der Grenzwert der Folge sek(a, x_n) = 2a. Anschaulich wird aus der Sekante beim Annähern eine Tangente

Definition 3.1.2   Eine Funktion f : A $\rightarrow$ B $\subset$ $\mathbb {R}$ heißt differenzierbar an der Stelle a $\in$ A genau dann, wenn es eine Zahl c gibt, so dass für jede Folge (a_n) mit $\lim_{{n\to\infty}}^{}$a_n = a gilt: $\lim_{{n\to\infty}}^{}$sek(a_n, a) = c. Die Zahl c heißt dann Ableitung an der Stelle a. Bezeichnung: f'(a) oder ${\frac{{df}}{{dx}}}$(a). f'(a) heißt auch Steigung der Tangente im Punkt (a, f (a)).